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江苏省考行测解题技巧:几何中的最短路径问题

Tag: 2022年江苏公务员 公务员考试 江苏公务员 2021-05-12 【 打印 】 我要提问我要提问
  几何问题是近几年公考热门题型,考查频率越来越高。其中的最短路径问题考查较多,方法性很强,通过学习可以有良好掌握,学习的性价比很高。下面江苏公务员考试网为大家具体讲解如何解决几何中的最短路径问题。


  最短路径问题考查形式通常为求点之间的最短距离,核心解题方法为平面上两点之间,线段最短。在考试中最短路径问题主要分为两大类,平面几何最短路径与立体几何最短路径。虽然题目有多种问法,但万变不离其宗,只要知识点掌握牢固、能够融会贯通,无论如何创新如何结合,我们都可以熟练解决。


  平面几何最短路径问题


  1.两点异侧


  题型特征:求在直线异侧的两点之间的最短距离,或在直线异侧的两点到第三点的最短距离之和


  解题方法:两点之间,线段最短,三点共线时距离之和最短


  例1.【2011联考】火车站A和B与初始发车站C的直线距离都等于akm,站点A在发车站C的北偏东20度,站点B在发车站C的南偏东40度,若在站点A和站点B之间架设火车轨道,则最短的距离为:


  A. akm


  B. 3akm


  C. 2akm


  D. \akm


  【解题思路】如图所示,根据题意中A在C点北偏东20度和B在C点南偏东40度可知,A、B、C三点构成顶角为120度的等腰三角形,且AB为底边。过点C做AB的中垂线,交AB于点D。根据勾股定理可得,CD=\a,AD=\a,则AB=2AD=\a,正确答案为D。

 

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  【点评】公务员考试中,三角形求边长常用勾股定理和相似三角形。因此建议各位考生将常见三角形边长比例熟练记忆,如30°直角三角形、等腰直角三角形、120°等腰三角形等。本题若变形为C火车站正东建立新火车站D,求AB两点到D距离之和最短,因三点共线时距离之和最短,直接连接AB即为最短距离和。


  2.两点同侧


  题型特征:求在直线同侧的两点到第三点的最短距离之和


  解题方法:将其中一点镜像对称,使三点共线


  例1.【2019浙江】 A、B点和墙的位置如图所示。现从A点出发以5米/秒的速度跑向墙,接触到墙后再跑到B点。问最少要多少秒到达B点?

 

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  A. 30


  B. 34


  C. 38


  D. 42


  【解题思路】要用最短时间到达B点,在速度一定的情况下,需从A接触到墙后再跑到B点所走的路程最短。如图,由于A和B在墙的同侧,可考虑做其中一个点关于墙的对称点,该对称点与另一个点的连线即为最短路程。假设做A点的对称点C,最短距离为BC。CD=90米,BD=30+45+45=120米,最短距离BC=\=150米,则t=\=30秒,正确答案为A。

 

\


  【点评】先判断为同侧问题,需要作其中一点的对称点,再连接另外一点,用勾股定理求解。两点同侧时,对称哪一个点都可以,但是一般为了计算方便,建议对称短的那一个。


  例2.【2017联考】如下图所示,某条河流一侧有A.、B.两家工厂,与河岸的距离分别为4km和5km,且A.与B.的直线距离为11km。为了处理这两家工厂的污水,需要在距离河岸1km处建造一个污水处理厂,分别铺设排污管道连接A.、B.两家工厂。假定河岸是一条直线,则排污管道总长最短是:

 

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  A. 12km


  B. 13km


  C. 14km


  D. 15km


  【解题思路】如下图所示,过污水处理厂做河岸的平行线HC,D为A关于HC的对称点,则最短距离为DB,由题污水厂离河1km可得A点距离到HC为HA=HD=3km,B点距离HC等于EH=4km,则DE=3+4=7km。\,所以\,正确答案为B。

 

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  【点评】本题中题目AB为河流一侧,因此为两点同侧。提醒大家注意,若以河为对称轴,求的点为交点,此时污水处理厂建在河里,因此此题的对称轴是第三个点所在的水平线,过C作一条沿河岸的平行线,轴距离河岸为1km。计算时若忽略了这一点,将无法求解正确答案。


  立体几何最短路径问题


  题型特征:求立体图形中两点的最短距离


  解题方法:将立体图形展开放在同一平面,连线计算


  例1.【2019河北】长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的长方体ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1上,有一个蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到C_1获取食物,其路程最小值是多少cm?


  A. 13


  B.\


  C.\


  D. 17


  由题干蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到\\最短,画图可知,在长方体中A和\不在同一平面,要求最短距离先要把A和C_1放在同一平面内,则把面\翻折,形成面\,再连接\,根据两点之间直线最短求解。如下图:

 

\


  \是直角三角形ABC_1的斜边,要让斜边最短,则两直角边的平方和要尽可能小。当AB=12,\=4+3=7时,两直角边的平方和最小,\最短=\=\,正确答案为B。


  【点评】长方体最短路径问题可直接运用结论,长方体中相对的两个顶点沿表面走的最短距离为:\;最短路径数为2条,因为长方体存在对立面,每一条路径都有一条与之相对的路径,因此有2条。


  例2. 【2013北京】A和B为正方体两个相对的顶点,一个点从A出发沿正方体表面以最短路径移动到B,则其可选择的路线有几条:


  A. 2


  B. 3


  C. 6


  D. 12


  【解题思路】正方体有3组对立面,如图可知每一条路线在对立面上都有一条与之对应的路线,因此每组对立面有2条路线,3组对立面共6条路线,正确答案为C。

 

\


  【点评】若本题为求A到B最短距离,则可将正方体展开,将AB放在同一平面内。连接AB后,AB=\=\边长。


  正方体最短路径问题也有有对应结论,小编建议可以直接用结论做题,正方体中相对的两个顶点最短距离为\边长,最短路径数为6条。


  以上就是对于几何中的最短路径问题的详细讲解。几何问题在近几年的国考、联考及单独命题省考中每年均有考查,最短路径问题大家可以看到套路性很强,希望各位考生通过学习均能对此有良好的掌握。

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