2014江苏公务员考试数量：整除与余数
2014年江苏公务员考试预计在明年2月份启动，距今还有约5个月的时间，随着全社会“公考热”的不断升温和命题的日趋规范，备考也对考生提出了越来越高的要求。在公务员考试中，行测一直都是一个必考科目，而作为行测当中的老大难——数量关系，一直都是众考生们比高下的演武场。行测数量可以说一直以来都是我们在考试时想比过别人的必争之地，下面江苏公务员考试网（http://www.jsgwyw.org/）就为考生讲述一下如何利用整除思想和与之对应的余数思想来解答数量关系题，希望考生能够熟练掌握。
一、整除思想
数量关系题目常见形式就是我们从小就异常熟悉的“应用题”，应用题在无限宽裕的时间里，应用题对于任何一个掌握了初等数学知识的人都不会是难题，只要能列方程就一定能出结果，但是在时间紧迫的行测考场当中，想要赢，关键就是速度，速度是决胜行测考场的制胜法宝。如何能够做到快速解题，整除思想就是必备必杀技中的一种。
整除思想，说到整除，非常简单，就是通过倍数关系来快速锁定答案。如何运用整除来帮助我们快速解题，下面我们将结合2014年江苏公务员考试通用教材中的例题来向大家说明：
【例】已知甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少本非专业书?
A.75 B.87 C.174 D.67
【解析】本题常规的大家可能会想到列方程求解，设甲的书有X本，乙的书有Y本，X+Y=260，但是，接下来13%X+12.5%Y就不再有条件去列等式了，那么这个题在方程当中就无解了。
但是……我们有神奇的整除思想，这正是这道题的考点所在，我们行测数量解题的关键就在于如何找出突破口，快速解题，本题命题人就是想考察我们对于整除思想的掌握程度，所以，这里整除思想就是让我们快速解题的关键所在了。甲的书中有13%是专业书，那么甲的专业书的数量一定是13的整倍数，而13%是最简分数了，那么甲的书的总数一定能被100整除，故只有两种可能，情况1：甲有书100本，乙有书160本;情况2：甲有书200本，乙有书60本。而再结合第二个条件，乙的书中有12.5%是专业书，那么化为最简分数1/8，乙拥有的书的总册数一定是能被8整除的，故，只能是第一种情况，甲有100本书，乙有160本书。
而甲的100本书当中有13%是专业书，即13本专业书，那么甲的非专业书就是87本。
该题看似无解，其实是想考察考生对整除思想的掌握程度，如果能快速看到本题的突破口所在，那么不仅可以解题，甚至是不需要列式计算就能直接秒杀的!
二、余数思想
（一）余数关系式和恒等式的应用
余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数(0≤余数<除数)，但是在这里需要强调两点：
1、余数是有范围的(0≤余数<除数)，这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。
2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除数=除数×商+余数。
【例1】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少?
A.12 B.41 C.67 D.71
【解析】余数是11，因此，根据余数的范围(0≤余数<除数)，我们能够确定除数>11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商+余数≥12×商+余数=12×5+11=71，因此被除数最小为71，答案选择D选项。
【例2】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是?
A. 216 B. 108 C. 314 D. 348
【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商+余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。
像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题的，所以在对这类问题的练习过程中，一定要牢牢地把握这两点。
（二）代入排除类型
【例】学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( )
A.102 B.98 C.104 D.108
【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。
（三）同余问题
这类问题在考试中比较常见，主要是从除数与余数的关系入手，来求得最终答案。通过总结我们得出解决同余问题的核心口诀，如下表所示：
同余问题核心口诀
“最小公倍数作周期，余同取余，和同加和，差同减差”
余同取余：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，这个数是 60n+1
和同加和：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，这个数是 60n+7
差同减差：“一个数除以4余3，除以5余4，除以6余5”，这个数是 60n-1
说明：在这里，n的取值范围为整数，可以为正数也可以取负数。
【例1】一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，请问这个数如何表示?
【解析】设这个数为A，则A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A-1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍数为60，所以A-1就可以表示为60n，因此，A=60n+1。
【例2】一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，请问这个数如何表示?
【解析】设这个数为A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，我们知道除数与对应余数的和相同，对应的为“和同加和”，满足这三个条件的数可以表示为：A= 60n+7。
【例3】一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，请问这个数如何表示?
【解析】除以除以4余1，除以5余2，除以6余3，我们知道除数与对应余数的差相同，对应的为“差同减差”，满足这三个条件的数可以表示为：60n-1。
根据以上三道例题的结论，我们还可以举一反三地解决其他相关问题。如：
【例4】一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有多少个?
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
解析：除以5余2，除以4余3，我们知道除数与对应余数的和相同，对应的为“和同加和”，满足这两个条件的数可以表示为，P=20n+7，表示除以20余7;再配上之前的条件除以9余7，对应的为“余同取余”，我们得到这个数可以表示为180n+7，由于这个数为三位数，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5个。
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整除思想，说到整除，非常简单，就是通过倍数关系来快速锁定答案。如何运用整除来帮助我们快速解题，下面我们将结合2014年江苏公务员考试通用教材中的例题来向大家说明：
【例】已知甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少本非专业书?
A.75 B.87 C.174 D.67
【解析】本题常规的大家可能会想到列方程求解，设甲的书有X本，乙的书有Y本，X+Y=260，但是，接下来13%X+12.5%Y就不再有条件去列等式了，那么这个题在方程当中就无解了。
但是……我们有神奇的整除思想，这正是这道题的考点所在，我们行测数量解题的关键就在于如何找出突破口，快速解题，本题命题人就是想考察我们对于整除思想的掌握程度，所以，这里整除思想就是让我们快速解题的关键所在了。甲的书中有13%是专业书，那么甲的专业书的数量一定是13的整倍数，而13%是最简分数了，那么甲的书的总数一定能被100整除，故只有两种可能，情况1：甲有书100本，乙有书160本;情况2：甲有书200本，乙有书60本。而再结合第二个条件，乙的书中有12.5%是专业书，那么化为最简分数1/8，乙拥有的书的总册数一定是能被8整除的，故，只能是第一种情况，甲有100本书，乙有160本书。
而甲的100本书当中有13%是专业书，即13本专业书，那么甲的非专业书就是87本。
该题看似无解，其实是想考察考生对整除思想的掌握程度，如果能快速看到本题的突破口所在，那么不仅可以解题，甚至是不需要列式计算就能直接秒杀的!
二、余数思想
（一）余数关系式和恒等式的应用
余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数(0≤余数<除数)，但是在这里需要强调两点：
1、余数是有范围的(0≤余数<除数)，这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。
2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除数=除数×商+余数。
【例1】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少?
A.12 B.41 C.67 D.71
【解析】余数是11，因此，根据余数的范围(0≤余数<除数)，我们能够确定除数>11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商+余数≥12×商+余数=12×5+11=71，因此被除数最小为71，答案选择D选项。
【例2】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是?
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【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商+余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。
像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题的，所以在对这类问题的练习过程中，一定要牢牢地把握这两点。
（二）代入排除类型
【例】学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( )
A.102 B.98 C.104 D.108
【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。
（三）同余问题
这类问题在考试中比较常见，主要是从除数与余数的关系入手，来求得最终答案。通过总结我们得出解决同余问题的核心口诀，如下表所示：
同余问题核心口诀
“最小公倍数作周期，余同取余，和同加和，差同减差”
余同取余：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，这个数是 60n+1
和同加和：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，这个数是 60n+7
差同减差：“一个数除以4余3，除以5余4，除以6余5”，这个数是 60n-1
说明：在这里，n的取值范围为整数，可以为正数也可以取负数。
【例1】一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，请问这个数如何表示?
【解析】设这个数为A，则A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A-1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍数为60，所以A-1就可以表示为60n，因此，A=60n+1。
【例2】一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，请问这个数如何表示?
【解析】设这个数为A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，我们知道除数与对应余数的和相同，对应的为“和同加和”，满足这三个条件的数可以表示为：A= 60n+7。
【例3】一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，请问这个数如何表示?
【解析】除以除以4余1，除以5余2，除以6余3，我们知道除数与对应余数的差相同，对应的为“差同减差”，满足这三个条件的数可以表示为：60n-1。
根据以上三道例题的结论，我们还可以举一反三地解决其他相关问题。如：
【例4】一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有多少个?
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
解析：除以5余2，除以4余3，我们知道除数与对应余数的和相同，对应的为“和同加和”，满足这两个条件的数可以表示为，P=20n+7，表示除以20余7;再配上之前的条件除以9余7，对应的为“余同取余”，我们得到这个数可以表示为180n+7，由于这个数为三位数，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5个。
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