2014江苏公务员考试：数学运算中的不定方程
2014年江苏公务员考试预计在明年2月份启动，距今还有5个月的时间，随着全社会“公考热”的不断升温和命题的日趋规范，备考也对考生提出了越来越高的要求。在一个较长的时间段内，如何规划好合理的复习方略并作出最有效的备考工作，应该是每一位应试者相当关心的问题。数量关系作为公务员考试行测中最难、费时最多的题目之一，是许多考生最容易放弃的板块。不过由于公务员考试的竞争力是一年高于一年，要想成为千军万马中能顺利过独木桥的那匹野马的话，一味的放弃，显然是行不通的。下面江苏公务员考试网(www.jsgwyw.org)专家为考生总结了数学运算中常出现的一类题型——不定方程，希望考生多多思考，掌握所介绍的几种解题方法。
不定方程是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制的方程或方程组。近几年的公务员行测考试中，对于不定方程的考查比较多。不定方程的解题方法主要有：一、赋特值；二、代入排除法;三、利用数字特性解题的方法。这些方法在以前都曾涉及到，近年来不定方程题主要考查了前两种方法的运用。下面就结合2014年江苏公务员考试通用教材中的相关例题为考生详解介绍如何解不定方程题。
一、利用特解思想
这类题目，往往要求大家解不定方程组，解的时候，我们只需要将某一个未知数设为0，往往是系数较大的未知数，然后求解。
【例1】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱( )
A.10元 B.11元 C.17元 D.21元
【解析】设签字笔、圆珠笔、铅笔的价格分别为x、y、z，得方程组：3x+7y+z=32，4x+10y+z=43，为典型的不定方程组，可以利用特解思想，令系数较大的y=0，然后求解，得到x=11、z=-1，所以x+y+z=10，选A。
【例2】去超市购买商品，如果购买9件甲商品、5件乙商品和1件丙商品，一共需要72元;如果购买13件甲商品、7件乙商品和1件丙商品，一共需要86元。若甲、乙、丙三种商品各买2件，共需要多少钱?
A.88 B.66 C.58 D.44
【解析】解法同例4，解得2(x+y+z)=88，选A。
二、单纯利用代入法来解
这类题目条件不多，只需要单纯地用代入法，就可以将答案找到。
【例1】装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个?( )
A. 3，7 B. 4，6 C. 5，4 D. 6，3
【解析】设大小盒分别为x、y，则有11x+8y=89，由于没有其他条件，我们只能采取直接代入法来解，最终，只有A选项符合条件，选A。
【例2】有若干张卡片，其中一部分写着1.1，另一部分写着1.11，它们的和恰好是43.21。写有1.1和1.11的卡片各有多少张?
A. 8张，31张 B. 28张，11张
C. 35张，11张 D. 41张，1张
【解析】本题采用代入排除法。将选项中的数代入验证。只有选项A满足。所以选择A选项。
三、利用数字特性，结合代入法
这类题目往往是会利用数字特性，例如整除、奇偶、尾数等特性，然后结合代入法，得到正确答案。
【例1】某儿童艺术培训中心有5名钢琴师与6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均的分给各个老师带领，刚好能分配完，且每位老师带的学生数量都是质数。后来由于学生数量减少，培训中心只留下了4名钢琴师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心剩多少学员?( )(2012年国家公务员考试行测试卷第68题)
A、36 B、37 C、39 D、41
【解析】D。设每位钢琴师带x人，拉丁舞老师带y人，则根据题意，5x+6y=76，其中x、y均为质数。这是典型的不定方程，根据奇偶特性，6y为偶数，5x+6y=76，即5x与6y的和为偶数，所以5x也应该为偶数，推出x为偶数，结合前面的要求，x还是一个质数，所以可以确定x为偶质数，也就是x=2，进一步推出y=11，根据题目意思，目前培训中心剩的学员数量为4×2+3×11=41人。
总结：本题主要考查数字特性在不定方程中的运用。
【例2】共有20个玩具交给小王手工制作完成。规定制作的玩具每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣。最后小王共收56元，那么他制作的玩具中不合格的共有( )个。
A.2 B.3 C.5 D.7
【解析】设合格为x，不合格为y，所以5x-2y=56，而由5x=2y+56可知，2y+56一定是5的倍数，因此，可以排除B、C;代入D选项，y=7，解得x=14，x+y>20，排除，只剩下A选项，(代入A，y=2，x=12，x+y<20，满足题目条件)，所以选A。
【例3】一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上的数字和十位上的看反了，准备付21元取货。售货员说：“您应该付39元才对。”请问书比杂志贵多少钱?( )
A.20 B.21 C.23 D.24
【解析】设书的价格为x，杂志的价格为y，根据题意，我们很容易知道x+y=39，题目让我们求x-y，根据奇偶特性，两数和为奇数、两数差也为奇数，因此我们知道了排除A、D，所以答案不是B就是C，将选项B代入，x+y=39、x-y=21，可以解得x=30，y=9，根据题意有3+9=12，不满足题意;将选项C代入，可以解得x=31，y=8，满足13+8=21的条件;因此选C。
【例4】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是( )
A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆
【解析】设大小客车分别为x、y，根据题意有37x+20y=271，由于20y是尾数为0的数，因此，37x的尾数一定是1，代入选项，只有选B。
综上所述，在考试的时候，如果大家遇到不定方程的题目，只需要按照这几种常见思路去解，应该可以很容易解答。
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这类题目，往往要求大家解不定方程组，解的时候，我们只需要将某一个未知数设为0，往往是系数较大的未知数，然后求解。
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A.10元 B.11元 C.17元 D.21元
【解析】设签字笔、圆珠笔、铅笔的价格分别为x、y、z，得方程组：3x+7y+z=32，4x+10y+z=43，为典型的不定方程组，可以利用特解思想，令系数较大的y=0，然后求解，得到x=11、z=-1，所以x+y+z=10，选A。
【例2】去超市购买商品，如果购买9件甲商品、5件乙商品和1件丙商品，一共需要72元;如果购买13件甲商品、7件乙商品和1件丙商品，一共需要86元。若甲、乙、丙三种商品各买2件，共需要多少钱?
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二、单纯利用代入法来解
这类题目条件不多，只需要单纯地用代入法，就可以将答案找到。
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A. 3，7 B. 4，6 C. 5，4 D. 6，3
【解析】设大小盒分别为x、y，则有11x+8y=89，由于没有其他条件，我们只能采取直接代入法来解，最终，只有A选项符合条件，选A。
【例2】有若干张卡片，其中一部分写着1.1，另一部分写着1.11，它们的和恰好是43.21。写有1.1和1.11的卡片各有多少张?
A. 8张，31张 B. 28张，11张
C. 35张，11张 D. 41张，1张
【解析】本题采用代入排除法。将选项中的数代入验证。只有选项A满足。所以选择A选项。
三、利用数字特性，结合代入法
这类题目往往是会利用数字特性，例如整除、奇偶、尾数等特性，然后结合代入法，得到正确答案。
【例1】某儿童艺术培训中心有5名钢琴师与6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均的分给各个老师带领，刚好能分配完，且每位老师带的学生数量都是质数。后来由于学生数量减少，培训中心只留下了4名钢琴师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心剩多少学员?( )(2012年国家公务员考试行测试卷第68题)
A、36 B、37 C、39 D、41
【解析】D。设每位钢琴师带x人，拉丁舞老师带y人，则根据题意，5x+6y=76，其中x、y均为质数。这是典型的不定方程，根据奇偶特性，6y为偶数，5x+6y=76，即5x与6y的和为偶数，所以5x也应该为偶数，推出x为偶数，结合前面的要求，x还是一个质数，所以可以确定x为偶质数，也就是x=2，进一步推出y=11，根据题目意思，目前培训中心剩的学员数量为4×2+3×11=41人。
总结：本题主要考查数字特性在不定方程中的运用。
【例2】共有20个玩具交给小王手工制作完成。规定制作的玩具每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣。最后小王共收56元，那么他制作的玩具中不合格的共有( )个。
A.2 B.3 C.5 D.7
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